Câu 10
Cho hàm R3P = \({{\frac{4}{27}\sqrt{26}}.a_0^{-5/2}.r.(2-{\frac{r}{3a_0}}).e^{\frac{-r}{3a_0}}}\)
a) Xác định mật độ xác suất theo r;
b) Biểu diễn kết quả thu được trên đồ thị
Câu 12
Cho 2 hàm sóng: \(\psi_{1s}=\frac{1}{\sqrt{\pi}}.a^{\frac{3}{2}}_0.e^{-\frac{r}{a_0}}\)và \(\psi_{2s}=\frac{1}{4\sqrt{2}}.a^{\frac{3}{2}}_0.\left(2-\frac{r}{a_0}\right).e^{-\frac{r}{2a_0}}\)
a) Hãy chứng minh hai hàm sóng trên trực giao nhau
b) Tìm hàm mật độ xác suất trong mỗi trường hợp và chỉ ra những vị trí mà mật độ xác suất đạt giá trị cực đại.
a, Ta có:
Hai hàm sóng trực giao nhau khi \(I=\int\psi_{1s}.\psi_{2s}d\psi=0\) \(\Leftrightarrow I=\iiint\psi_{1s}.\psi_{2s}dxdydz=0\)
Chuyển sang tọa độ cầu ta có: \(\begin{cases}x=r.\cos\varphi.sin\theta\\y=r.\sin\varphi.sin\theta\\z=r.\cos\theta\end{cases}\)
\(\Rightarrow\)\(I=\frac{a^3_o}{4.\sqrt{2.\pi}}\int\limits^{\infty}_0\left(2-\frac{r}{a_o}\right).e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}.r^2.\sin\theta dr\int\limits^{2\pi}_0d\varphi\int\limits^{\pi}_0d\theta\)
\(=a^3_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}\)(.\(2.\int\limits^{\infty}_0r^2.e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}dr-\frac{1}{a_o}.\int\limits^{\infty}_0r^3.e^{-\frac{3.r}{2.a_o}}dr\))
\(=a_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}.\left(2.I_1-\frac{1}{a_o}.I_2\right)\)
Tính \(I_1\):
Đặt \(r^2=u\); \(e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\)
\(\Rightarrow\begin{cases}2.r.dr=du\\-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\end{cases}\) \(\Rightarrow I_1=-r^2.\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}+\frac{4.a_o}{3}.\int\limits^{\infty}_0r.e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr\)\(=0+\frac{4a_o}{3}.I_{11}\)
Tính \(I_{11}\):
Đặt r=u; \(e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\)\(\Rightarrow\begin{cases}dr=du\\-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\end{cases}\)\(\Rightarrow I_{11}=0+\frac{2a_0}{3}.\int\limits^{\infty}_0e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=\frac{4a^2_o}{9}\)
\(\Rightarrow2.I_1=2.\frac{4a_o}{3}.\frac{4a_o^2}{9}=\frac{32a^3_o}{27}\)
Tính \(I_2\):
Đặt \(r^2=u;e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr=dV\) \(\Rightarrow\)\(3r^2dr=du;-\frac{2a_o}{3}.e^{-\frac{3r}{2a_o}}=V\)
\(\Rightarrow I_2=0+2.a_o.\int\limits^{\infty}_0r^2.e^{-\frac{3r}{2a_o}}dr\)\(\Rightarrow\frac{1}{a_o}.I_2=2a_o.\frac{16a^3_o}{27}.\frac{1}{a_o}=\frac{32a^3_o}{27}\)
\(\Rightarrow I=a^3_o.\sqrt{\frac{\pi}{2}}.\left(\frac{32a^3_o}{27}-\frac{32a^3_o}{27}\right)=0\)
Vậy hai hàm sóng này trực giao với nhau.
b,
Xét hàm \(\Psi_{1s}\):
Hàm mật độ sác xuất là: \(D\left(r\right)=\Psi^2_{1s}=\frac{1}{\pi}.a^3_o.e^{-\frac{2r}{a_o}}\)
\(\Rightarrow D'\left(r\right)=-\frac{2.a_o^2}{\pi}.e^{-\frac{2r}{a_o}}=0\)
\(\Rightarrow\)Hàm đạt cực đại khi \(r\rightarrow o\) nên hàm sóng có dạng hình cầu.
Xét hàm \(\Psi_{2s}\):
Hàm mật độ sác xuất: \(D\left(r\right)=\Psi_{2s}^2=\frac{a^3_o}{32}.\left(2-\frac{r}{a_o}\right)^2.e^{-\frac{r}{a_0}}\)\(\Rightarrow D'\left(r\right)=\left(2-\frac{r}{a_o}\right).e^{-\frac{r}{a_o}}.\left(-4+\frac{r}{a_o}\right)=0\)
\(\Rightarrow r=2a_o\Rightarrow D\left(r\right)=0\); \(r=4a_o\Rightarrow D\left(r\right)=\frac{a^3_o}{8}.e^{-4}\)
Vậy hàm đạt cực đại khi \(r=4a_o\), tại \(D\left(r\right)=\frac{a^3_o}{8}.e^{-4}\)
hai hàm trực giao: I=\(\int\)\(\Psi\)*\(\Psi\)d\(\tau\)=0
Ta có: I=\(\int\limits^{ }_x\)\(\int\limits^{ }_y\)\(\int\limits^{ }_z\)\(\Psi\)*\(\Psi\)dxdydz=0
=\(\int\limits^{ }_r\)\(\int\limits^{ }_{\theta}\)\(\int\limits^{ }_{\varphi}\)\(\Psi\)1s\(\Psi\)2sr2sin\(\theta\)drd\(\theta\)d\(\varphi\)
=\(\int\limits^{\infty}_0\)\(\int\limits^{\pi}_0\)\(\int\limits^{2\pi}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2sin\(\theta\)drd\(\theta\)d\(\varphi\)
=C.\(\int\limits^{\infty}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2dr.\(\int\limits^{\pi}_0\)sin\(\theta\)\(\int\limits^{2\pi}_0\)d\(\varphi\)
với C=\(\frac{1}{4\sqrt{2\pi}}\)a0-3
Xét tích phân: J=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-3r/a0r2dr
=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2r2- \(\frac{r^3}{a_0}\)).e-3r/a0dr
=\(\int\limits^{\infty}_0\)(2r2- \(\frac{r^3}{a_0}\)).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a0
=\(\frac{-2a_0}{3}\).((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0\(-\)\(\int\)(4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/adr)
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 - \(\int\)(4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\)).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a)
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0 - \(\int\)(4 - \(\frac{6r}{a_0}\))e-3r/a0dr))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0- \(\int\)(4 - \(\frac{6r}{a_0}\))\(\frac{-2a_0}{3}\).de-3r/a0))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)(((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 + \(\int\)(\(\frac{6}{a_0}\)e-3r/a0dr)))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)(((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 + \(\int\)(\(\frac{6}{a_0}\).\(\frac{-2a_0}{3}\)de-3r/a0)))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)((((2r2-\(\frac{r^3}{a_0}\))e-3r/a0 +\(\frac{2a_0}{3}\).((4r-\(\frac{3r^2}{a_0}\))e-3r/a0+\(\frac{2a_0}{3}\)((4-\(\frac{6r}{a_0}\)).e-3r/a0 - 4.e-3r/a0))))
=\(\frac{-2a_0}{3}\)e-3r/a0.\(\frac{-r^3}{a_0}\)=2/3.e-3r/a0.r3Thế cận tích phân 0 và \(\infty\) J= 0 suy ra I=0. Vậy 2 hàm số trực giaob1.\(\Psi\)1s=\(\frac{1}{\sqrt{\pi}}\).a03/2.e-r/a0.
Hàm mật độ xác suất :
Dr=|\(\Psi\)2|r2
=\(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2r/a0.r2
xét \(\frac{dD_r}{r}\)= \(\frac{1}{\pi}\)a03.(r2.\(\frac{-2}{a_0}\)e-2r/a0+2r.e-2r/a0)
= \(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2r/a0.2r.(1\(-\)\(\frac{r}{a_0}\))
\(\frac{dD_r}{r}\)=0 \(\Leftrightarrow\)r=a0.
tại r=a0 Dr đạt cực đại. Dmax=\(\frac{1}{\pi}\)a03.e-2.a02=\(\frac{1}{\pi}\)a05.e-2
b2. \(\Psi\)2s=\(\frac{1}{4\sqrt{2}}\)a03/2.(2-\(\frac{r}{a_0}\)).e-r/2ao.
Hám mật độ xác suất:
Dr=|\(\Psi\)2|r2.
=\(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.(2-\(\frac{r}{a_0}\))2
=\(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.(4-4.\(\frac{r}{a_0}\)+\(\frac{r^2}{a^2_0}\))
Xét \(\frac{dDr}{dr}\)= \(\frac{1}{32}\).a03.((e-r/ao.\(\frac{-1}{a_0}\).(2-\(\frac{r}{a_0}\))2+e-r/ao.(-.\(\frac{4}{a_0}\)+\(\frac{2r}{a^2_0}\))
=- \(\frac{1}{32}\).a03.e-r/ao.\(\frac{1}{a_0}\).(2-\(\frac{r}{a_0}\))(\(\frac{r}{a_0}\)-4)
\(\frac{dDr}{dr}\)=0 \(\Rightarrow\)r=2a0 hoặc r=4a0.tại r=2a0 Dr đạt cực đại. Drmax=0.
Hàm số \(S\left( r \right) = \frac{1}{{{r^4}}}\) có thể được sử dụng để xác định sức cản \(S\) của dòng máu trong mạch máu có bản kính \(r\) (tính theo milimét) (theo Bách khoa toàn thu Y học Harrison's internal medicine 21st edition”). Tìm tốc độ thay đổi của \(S\) theo \(r\) khi \(r = 0,8\).
Ta có:
\(s'\left(r\right)=\left(\dfrac{1}{r^4}\right)'=-4\cdot r^{-5}=-\dfrac{4}{r^5}\)
Tốc độ thay đổi của S theo r khi \(r=0,8\) là:
\(S'\left(0,8\right)=-\dfrac{4}{0,8^5}\approx-12,21\)
a) Xác định hàm số y=m|x|, biet rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm A(-3;1).
b) Điểm M(3√3;√3); N(-6√2; -2√2) có thuộc đồ thị của hàm số trên không?
c) Tim toạ độ của điểm K, R thuộc đồ thị hàm số trên biết hoành độ của điểm K bằng-9, tung độ của điểm R bằng 5.
d) Vẽ đồ thị của hàm số trên.
Cho hàm sóng 2(r - 3/r2).exp(r).
a) Tính mật độ xác suất ứng với hàm sóng trên trong khoảng (0; 3).
b) Chuyển phương trình hàm sóng trên sang hệ tọa độ Đề các.
phần a là mình tính tích phân từ 0-3 của hàm đấy bình phương ạ
còn phần b làm như thế nào ạ, thầy có thể hướng dẫn không ạ
thưa thầy phần a xác suất sẽ bằng tích phân của bình phương hàm sóng cận từ 0 đến 3, nhưng do cận bằng 0 tích phân không xác định nên em không tính được ạ. còn đây là phần b ạ
Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh của một hình bát giác đều nội tiếp trong đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\). Xác suất để khoảng cách giữa hai đỉnh đó bằng \(R\sqrt 2 \) là
A. \(\frac{2}{7}\).
B. \(\frac{3}{7}\).
C. \(\frac{4}{7}\).
D. \(\frac{5}{{56}}\).
tham khảo
Để khoảng cách giữa hai điểm đó là \(R\sqrt{2}\) thì giữa hai đỉnh đó có 1 đỉnh.
Xác suất của biến cố đó là: \(\dfrac{8}{C^2_8}=\dfrac{2}{7}\)
\(\Rightarrow A\)
Đặt điện áp u = U 2 cos(100πt) vào 2 đầu đoạn mạch gồm: biến trở R, cuộn cảm thuần L và tụ điện C mắc nối tiếp người ta thu được đồ thị biểu diễn quan hệ giữa công suất mạch điện với điện trở R như hình dưới. Xác định y:
A. 100
B. 50
C. 80
D. 20
Đáp án: C
P = U 2 R 1 + R 2 = 200 W ⇒ U 2 x + y = 200 W (1)
P m a x = U 2 2 R = U 2 2 x y = 250 W (2)
(1);(2) ⇒ 2 x y x + y = 200 250 ⇒ x y = 0 , 4 ( x + y ) (3)
Khi P m a x : R = R 1 R 2 ⇒ 100 x - x 2 = x y
⇒ x ( 100 - x - y ) = 0 ⇒ x = 100 - y
Thay vào (3), giải phương trình ta được: [ y = 20 ( l o ạ i v ì g i á t r ị n à y ứ n g v ớ i x ) y = 80
Mắc hai cực của một nguồn điện không đổi vào hai đầu biến trở R. Điều chỉnh R người ta thu được đồ thị biểu diễn sự phụ thuộc cường độ dòng điện chạy qua biến trở vào giá trị biến trở (Hình 19.1P). Xác định suất điện động và điện trở trong của nguồn điện.
Ta có: \(I=\dfrac{\varepsilon}{R+r}\)
Với R = \(2\Omega\) thì I = 2,5A \(\Rightarrow2,5=\dfrac{\varepsilon}{2+r}\)
Với R = 8 \(\Omega\) thì I = 1A \(\Rightarrow1=\dfrac{\varepsilon}{8+r}\)
\(\Rightarrow\varepsilon=10V,r=2\Omega\)
Cho đoạn mạch AB gồm biến trở R, cuộn dây không thuần cảm với độ tự cảm L = 0 , 6 π H , và có điện dung 10 − 3 3 π F , mắc nối tiếp. Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos 100 πt (U không thay đổi) vào hai đầu A, B. Thay đổi giá trị biến trở R ta thu được đồ thị phụ thuộc của công suất tiêu thụ trên mạch vào giá trị R theo đường (1). Nối tắt cuộn dây và tiếp tục thay đổi R ta thu được đồ thị (2) biểu diễn sự phụ thuộc của công suất trên mạch vào giá trị R. Điện trở thuần của cuộn dây là
A. 10 Ω
B. 90 Ω
C. 30 Ω
D. 80 , 33 Ω
Cho đoạn mạch AB gồm biến trở R, cuộn dây không thuần cảm với độ tự cảm , và có điện dung , mắc nối tiếp. Đặt điện áp xoay chiều u = U 2 cos ( 100 πt ) (U không thay đổi) vào hai đầu A, B. Thay đổi giá trị biến trở R ta thu được đồ thị phụ thuộc của công suất tiêu thụ trên mạch vào giá trị R theo đường (1). Nối tắt cuộn dây và tiếp tục thay đổi R ta thu được đồ thị (2) biểu diễn sự phụ thuộc của công suất trên mạch vào giá trị R. Điện trở thuần của cuộn dây là
A. 10 Ω.
B. 90 Ω.
C. 30 Ω.
D. 80,33 Ω.
Đáp án B
Ta có
+ Dạng đồ thị cho thấy rằng